Trang chủ Lớp 12 Toán lớp 12 Câu 8 trang 147 Giải tích 12: ÔN TẬP CUỐI NĂM –...

Câu 8 trang 147 Giải tích 12: ÔN TẬP CUỐI NĂM – GIẢI TÍCH 12...

Câu 8 trang 147 SGK Giải tích 12: ÔN TẬP CUỐI NĂM – GIẢI TÍCH 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Advertisements (Quảng cáo)

Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1\) trên đoạn \(\left[ { – 2,{5 \over 2}} \right]\)

b) \( f(x) = x^2lnx\) trên đoạn \(\left[ {1,e} \right]\)

c) \(f(x) = xe^{-x}\) trên nửa khoảng \([0, +∞)\)

d) \(f(x) = 2sinx + sin2x\) trên đoạn \(\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\)

a) \(f(x) = 2x^3– 3x^2– 12x + 1 ⇒ f’(x) = 6x^2 – 6x – 12\)

\(f’(x) = 0 ⇔ x =-1\) hoặc \(x=2\)

So sánh các giá trị: 

\(f(-2) = -3\); \( f(-1) = 8\);

\(f(2) = -19\), \(f({5 \over 2}) = {{ – 33} \over 2}\)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { – 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f( – 1) = 8 \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ { – 2,{5 \over 2}} \right]} f(x) = f(2) = – 19 \cr} \)

b) \(f(x) = x^2 lnx ⇒ f’(x)= 2xlnx + x > 0, ∀ x ∈ [1, e]\) nên \(f(x)\) đồng biến.

Do đó:

\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(e) = {e^2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {1,e} \right]} f(x) = f(1) = 0 \cr} \)

Advertisements (Quảng cáo)

 c) \(f(x)= xe^{-x}⇒ f’(x)=e^{-x} –xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}\) nên:

\(f’(x) = 0 ⇔ x = 1, f’(x) > 0, ∀x ∈ (0, 1)\) và \(f’(x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞)\)

nên:

 \(\mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(1) = {1 \over e}\)

Ngoài ra \(f(x)= xe^{-x} > 0, ∀ x ∈ (0, +∞)\) và \(f(0) = 0\) suy ra

 \(\mathop {\min}\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(0) = 0\)

d) \(f(x) = 2sinx + sin2x  ⇒ f’(x)= 2cosx + 2cos2x\)

\(f’(x) = 0 ⇔ cos 2x = -cosx ⇔ 2x = ± (π – x) + k2π\)

 ⇔ \(x \in \left\{ { – \pi  + k2\pi ;{\pi  \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}\)

Trong khoảng \(\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\) , phương trình \(f’(x) = 0\) chỉ có hai nghiệm là \({x_1} = {\pi  \over 3};{x_2} = \pi \)

So sánh bốn giá trị : \(f(0) = 0\); \(f({\pi  \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2};f(\pi ) = 0;f({{3\pi } \over 2}) =  – 2\)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({\pi \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2} \cr
& \mathop {min}\limits_{x \in \left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]} f(x) = f({{3\pi } \over 2}) = – 2 \cr} \)