Bài tập 6 - Trang 113 - SGK Giải tích 12: Bài 2. Tích phân. 6. Tính tích phân bằng hai phương pháp
Bài 6. Tính tích phân \(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx\) bằng hai phương pháp:
a) Đổi biến số : \(u = 1 - x\);
b) Tính tích phân từng phần.
:
a) Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow x = 1 - u \Rightarrow dx = - du\).
Khi \(x = 0\) thì \(u = 1\), khi \(x = 1\) thì \(u = 0\). Khi đó:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx=\int_{0}^{1}(1-u)u^{5}du=(\frac{1}{6}u^{6}-\frac{1}{7}u^{7})|_{0}^{1}\)\(=\frac{1}{42}.\)
b) Đặt \(u = x\); \(dv = (1 – x)^5dx\)
\(\Rightarrow du = dx\); \(v=-\frac{(1+x)^{6}}{6}\). Khi đó:
\(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx=-\frac{x(1-x)^{6}}{6}|_{0}^{1}+\frac{1}{6}\int_{0}^{1}(1-x)^{6}dx\)
\(=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}(1-x)^{6}d(1-x)=-\frac{1}{42}(1-x)^{7}|_{0}^{1}=\frac{1}{42}\).