Bài tập 6 trang 113 - SGK Giải tích 12: Bài 2. Tích phân...

Bài 6. Tính tích phân $\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx$ bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số : $u = 1 - x$;

b) Tính tích phân từng phần.

:

a) Đặt $u = 1 - x \Rightarrow x = 1 - u \Rightarrow dx = - du$.

Khi $x = 0$ thì $u = 1$, khi $x = 1$ thì $u = 0$. Khi đó:

$\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx=\int_{0}^{1}(1-u)u^{5}du=(\frac{1}{6}u^{6}-\frac{1}{7}u^{7})|_{0}^{1}$$=\frac{1}{42}.$

b) Đặt $u = x$; $dv = (1 – x)^5dx$

$\Rightarrow du = dx$; $v=-\frac{(1+x)^{6}}{6}$. Khi đó:

$\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx=-\frac{x(1-x)^{6}}{6}|_{0}^{1}+\frac{1}{6}\int_{0}^{1}(1-x)^{6}dx$

                                  $=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}(1-x)^{6}d(1-x)=-\frac{1}{42}(1-x)^{7}|_{0}^{1}=\frac{1}{42}$.