Câu 101 trang 29 SBT Toán Lớp 6 tập 2: Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo...

Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2. 

Giải

Gọi phân số ${a \over b}$ với a > 0, b > 0. Không mất tính tổng quát giả sử 0 < a ≤ b.

Đặt b = a + m (m ∈ Z, m ≥ 0)

Số nghịch đảo của ${a \over b}$ là ${b \over a}$ ta có:

${a \over b} + {b \over a} = {a \over {a + m}} + {{a + m} \over a}$

              $= {a \over {a + m}} + {m \over a} + {a \over a}$

              $= {a \over {a + m}} + {m \over a} + 1$                                     (1)

Ta có: ${m \over {a}} \ge {m \over {a + m}}$ (dấu bằng xảy ra khi m = 0)

Suy ra: ${a \over {a + m}} + {m \over a} \ge {a \over {a + m}} + {m \over {a + m}} = {{a + m} \over {a + m}} = 1$         (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ${a \over b} + {b \over a} \ge 1 + 1 = 2$, dấu bằng xảy ra khi m = 0 hay a = b.