Chứng minh rằng tổng của một phân số dương với số nghịch đảo của nó thì không nhỏ hơn 2.
Giải
Gọi phân số \({a \over b}\) với a > 0, b > 0. Không mất tính tổng quát giả sử 0 < a ≤ b.
Đặt b = a + m (m ∈ Z, m ≥ 0)
Số nghịch đảo của \({a \over b}\) là \({b \over a}\) ta có:
\({a \over b} + {b \over a} = {a \over {a + m}} + {{a + m} \over a} \)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= {a \over {a + m}} + {m \over a} + {a \over a} \)
\(= {a \over {a + m}} + {m \over a} + 1\) (1)
Ta có: \({m \over {a}} \ge {m \over {a + m}}\) (dấu bằng xảy ra khi m = 0)
Suy ra: \({a \over {a + m}} + {m \over a} \ge {a \over {a + m}} + {m \over {a + m}} = {{a + m} \over {a + m}} = 1\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \({a \over b} + {b \over a} \ge 1 + 1 = 2\), dấu bằng xảy ra khi m = 0 hay a = b.