Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
Hướng dẫn: Từ I kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.
Kẻ: ID⊥AB,IE⊥BC,IF⊥AC
Xét hai tam giác vuông IDB và IEB, ta có:
^IDB=^IEB=90∘^DBI=^EBI(gt)
BI cạnh huyền chung
⇒ ∆IDB = ∆IEB (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng)
Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có ;
^IEC=^IFC=90∘^ECI=^FCI(gt)
Advertisements (Quảng cáo)
CI canh huyền chung
Suy ra: ∆ IEC = ∆IFC (cạnh huyền, góc nhọn)
Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF
Xét hai tam giác vuông IDA và IFA, ta có:
^IDA=^IFA=90∘
ID = IF (chứng minh trên)
AI cạnh huyền chung
Suy ra: ∆IDA = ∆IFA (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: ^DAI=^FAI (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác của ˆA