Chứng minh rằng:
\(\sqrt 1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 + ... + \sqrt {25} > 75\)
Ta có:
\(\sqrt 1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 > \sqrt 1 + \sqrt 1 + \sqrt 1\)\( = 1 + 1 + 1 = 3\)
\(\sqrt 4 + \sqrt 5 + ... + \sqrt 8 > \)\(\underbrace {\sqrt 4 + \sqrt 4 + ... + \sqrt 4 }_{5\,số\,hạng}\)\( = \underbrace {2 + 2 + ... + 2}_{5\,số\,hạng} = 10\)
\(\sqrt 9 + \sqrt {10} + ... + \sqrt {15} >\)\( \underbrace {\sqrt 9 + \sqrt 9 + ... + \sqrt 9 }_{7\,số\,hạng}\)\( = \underbrace {3 + 3 + ... + 3}_{7\,số\,hạng} = 21\)
\(\sqrt {16} + \sqrt {17} + ... + \sqrt {24} >\)\( \underbrace {\sqrt {16} + \sqrt {16} + ... + \sqrt {16} }_{9\,số\,hạng}\)\( = \underbrace {4 + 4 + ... + 4}_{9\,số\,hạng} = 36\) và \(\sqrt {25} = 5\)
Do đó: \(\sqrt 1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 + ... + \sqrt {25} >\)\( 3 + 10 + 21 + 36 + 5 = 75.\)