Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.
a) Chứng minh rằng ^BMN=^HAC
b) Kẻ MI⊥AH(I∈AH) , gọi K là giao điểm của AH với BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.
a) Ta có MN là đường trung trực của BC (gt) ⇒MN⊥BC.
Mà AH⊥BC (AH là đường cao của tam giác ABC). Nên MN // AH.
M thuộc đường trung trực của BC (gt).
=> MB = MC => ∆MBC cân tại M
Do đó MN là đường phân giác của ∆MBC
Advertisements (Quảng cáo)
⇒^BMN=^NMC.
Mà ^NMC=^HAC (hai góc đồng vị và MN // AH)
Vậy ^BMN=^HAC.
b) Ta có ^BMN=^HAC⇒^BMN=^KAM
Mà ^BMN=^AKM (hai góc so le trong và MN // AH). Nên ^KAM=^AKM.
Do đó ∆AKM cân tại M.
Lại có MI là đường cao của tam giác AKM (MI⊥AK tại I).
Nên MI cũng là đường trung tuyến của tam giác AKM.
Vậy I là trung điểm của AK.