Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H∈CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM.
a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.
b) Chứng minh rằng ^EBH=^ACM
c) Chứng minh rằng EB⊥BC
d) Đường thẳng BE cắt đường thẳng AC tại N. Tia phân giác ^NAB cắt đường thẳng BH tại D, tia ND cắt CM tại F. Tính số đo ^NFC
a) ∆MBE có: BH là đường cao (BH⊥EM tại H)
BH là đường trung tuyến (HE = HM, H∈EM)
Nên ∆MBE cân tại B.
b) ∆MBE cân tại B có BH là đường cao
=> BH cũng là đường phân giác ⇒^EBH=^HBM
Ta có: ^HBM+^BMH=90∘ (∆HMB vuông tại H)
^ACM+^AMC=90∘ (∆AMC vuông tại A)
^BMH=^AMC (đối đỉnh)
Do đó ^HBM=^ACM.
Mà ^HBM=^EBH.
Advertisements (Quảng cáo)
Nên ^ACM=^EBH.
c) Ta có: ^EBH=12^EBM (BH là tia phân giác của ^EBM)
^ACM=12^ACB (CM là tia phân giác của ^ACB)
^EBH=^ACM (câu b)
Do đó ^EBM=^ACB.
Mà ^ACB+^MBC=90∘ (∆ABC vuông tại A). Nên ^EBM+^MBC=90∘.
⇒^EBC=90∘. VậyEB⊥BC.
d) ∆ABN có: AD là đường phân giác (gt)
BD là đường phân giác và AD cắt BD tại D (gt)
=> D là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABN
=> ND là đường phân giác của ∆ABN ⇒^ANF=12^BNC
Mà ^NCF=12^NCB (CF là tia phân giác của ^NCB)
^BNC+^NCB=90∘ (∆NBC vuông tại B)
Nên ^ANF+^NCF=12^BNC+12^NCB=12(^BNC+^NCB)=12.90∘=45∘.
Lại có ^NFC+^ANF+^NCF=180∘ (tổng ba góc trong tam giác)
⇒^NFC+45∘=180∘⇒^NFC=135∘