Tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE⊥AN(E∈AN)
a) Chứng minh BE là tia phân giác của góc ABN.
b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh NK // CA.
c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB với NF. Chứng minh tam giác GBC cân.
a) BA = BN => ∆ABN cân tại B.
Mà BE là đường cao của ∆ABN (vì BE⊥AN tại E)
Nên BE cũng là đường phân giác của ∆ABN
Vậy BE là tia phân giác của ^ABN.
b) ∆ABN có hai đường cao BE và AH cắt nhau tại K (gt).
=> K là trực tâm của ∆ABN
=> NK là đường cao của ∆ABN
Advertisements (Quảng cáo)
⇒NK⊥AB
Mà CA⊥AB (∆ABC vuông tại A)
Nên NK // CA.
c) Ta có: ^NFC=^FNK (hai góc so le trong và NK // AC)
^NFC=^AFG (đối đỉnh)
⇒^FNK=^AFG
Mà ^FNK và ^AFG ở vị trí đồng vị. Nên AH // GN
Lại có AH⊥BC (AH là đường cao của ∆ABC) ⇒GN⊥BC.
Xét ∆ABC và ∆GNB ta có ^BAC=^BNG(=90∘)
AB = BN (gt)
^ABC chung
Do đó: ∆ABC = ∆NBG (g.c.g) => BC = BG
Vậy ∆BGC cân tại B.