Bài 42 trang 73 sgk Toán lớp 7- tập 2, Chứng minh định lí...

42. Chứng minh định lí : Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân

Gợi ý : Trong ∆ABC, nếu AD vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài AD một đoạn AD₁ sao cho DA₁ = AD

Hướng dẫn:

Giả sử  ∆ABC có AD là phân giác \(\widehat{BAC}\) và DB = DC, ta chứng minh  ∆ABC  cân tại A

Kéo dài AD một đoạn DA₁ = AD

Ta có:   ∆ADC =  ∆A₁DC (c.g.c)

Nên \(\widehat{BAD}= \widehat{CA_{1}D}\)

mà \(\widehat{BAD}= \widehat{CAD}\) (gt)

=> \(\widehat{CAD}= \widehat{CA_{1}D}\)

=>   ∆ACA₁ cân tại C

Ta lại có: AB = A₁C ( ∆ADB = ∆A₁DC)

              AC = A₁C ( ∆ACA₁ cân tại C)

=> AB = AC

Vậy  ∆ABC cân tại A

Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân