Gọi MH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh rằng: Nếu MN < MP thì HN < HP và \(\widehat {NMH} < \widehat {PMH}\) (yêu cầu xét hai trường hợp: khi góc N nhọn và khi góc N tù).
Hướng dẫn làm bài:
+Nếu góc N nhọn (hình a)
∆MNP có \(\hat N\) nhọn nên chân đường cao H kẻ từ M nằm giữa N và P.
Ta có hình chiếu của MN và MP lần lượt là HN và HP.
Từ giả thiết MN < MP => HN < HP (quan hệ giữa các đường xiên và hình chiếu).
∆MNP có MN < MP => \(\widehat {MPN} < \widehat {MNP}\) (quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác)
Vì \(\widehat {NMH} + \widehat {MNH} = {90^0}\) (∆MNH vuông tại H)
\(\widehat {MPH} + \widehat {PMH} = {90^0}$\)(∆MHP vuông tại H)
Vậy \(\widehat {NMH} < \widehat {PMH}\)
+Nếu góc N tù (hình b)
∆MNP có \(\hat N\) tù nên chân đường cao H ở ngoài cạnh NP và N ở giữa H và P
=>HN < HP.
Vì N ở giữa H và P nên tia MN ở giữa hai tia MH và MP. Từ đó suy ra \(\widehat {HMN} < \widehat {HMP}\)