Chứng minh rằng: Nếu tam giác ABC có đường trung tuyến xuất phát từ A bằng một nửa cạnh BC thì tam giác đó vuông tại A.
Ứng dụng: Một tờ giấy bị rách ở mép (h.65). Hãy dùng thước và compa dựng đường vuông góc ở cạnh AB tại A.
Hướng dẫn làm bài:
Giả sử ∆ABC có AD là đường trung tuyến ứng với BC và \(DA = {1 \over 2}BC = > AD = BD = DC\)
Hay ∆ADC, ∆ADB cân tại D. Do đó:
\(\left. {\matrix{ {\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}} \cr {\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}}} \cr } } \right\} = > \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}\)
Mà \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = {180^0}\) (tổng các góc ∆ABC)
=> \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {90^0}\) Hay ∆ABC vuông tại A.
Áp dụng
-Vẽ đường tròn (A;r); \(r = {{AB} \over 2}\); vẽ đường tròn (B, r)
-Gọi C là giao điểm của 2 cung tròn nằm ở phía trong tờ giấy.
-Trên tia BC lấy D sao cho BC = CD => AB ⊥ AD.
Thật vậy: ∆ABD có AC là trung tuyến ứng với BD (BD = CD) và AC = BC = CD.
=> \(AC = {1 \over 2}BD
=> ∆ ABD vuông tại A