Bài 20 trang 79 SBT Toán 8 - Cánh diều: Cho hai hình chóp tam giác đều $S. ABC$ và \(S’...

Cho hai hình chóp tam giác đều $S.ABC$ và $S’.A’B’C’$ lần lượt có độ dài cạnh đáy là $a$ và $a’$, độ dài trung đoạn là $d$ và $d’$. Tính tỉ số giữa $d$ và $d’$, biết diện tích xung quanh của $S.ABC$ gấp $k$ lần diện tích xung quanh của $S’.A’B’C’\left( {k \ne 0} \right)$ và $a = 2a’$. Biết rằng $a,a’,d,d’$ cùng đơn vị đo.

Áp dụng công thức ${S_{xq}} = \frac{1}{2}.C.d$, trong đó ${S_{xq}}$ là diện tích xung quanh, $C$ là chu vi đáy, $d$ là độ dài trung đoạn của hình chóp tam giác đều.

Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều ${S_{xq}} = \frac{1}{2}.C.d$, ta có:

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều $S.ABC$ là:

$\frac{1}{2}.\left( {3a} \right).d = \frac{1}{2}.3.2a’.d = 3a’d$

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều $S’.A’B’C’$ là:

$\frac{1}{2}.\left( {3a’} \right).d’ = \frac{3}{2}a’d’$

Do diện tích xung quanh của $S.ABC$ gấp $k$ lần diện tích xung quanh của $S’.A’B’C’$ nên $3a’d = k.\frac{3}{2}a’d’$. Suy ra $\frac{d}{{d’}} = \frac{k}{2}$.

Vậy tỉ số giữa $d$ và $d’$ là $\frac{k}{2}$.