Bài 23 trang 41 SBT Toán 8 - Cánh diều: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức: \(A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right)...

Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức:

a) $A = \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}$ tại $x = 5;y = 7$

b) $B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}$ tại $x = - \frac{1}{2};y = \frac{3}{2}$

c) $C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}$ tại $x = - 15;y = 5$

Áp dụng hằng đẳng thức và phép cộng trừ nhân chia phân thức đại số để rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.

a) Rút gọn biểu thức:

$A$ $= \left( {\frac{{{x^2} + {y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} - 1} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}$ $= \left( {\frac{{{x^2} + {y^2} - {x^2} + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}} \right).\frac{{x - y}}{{2y}}$ $= \frac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}.\frac{{x - y}}{{2y}}$ $= \frac{y}{{x + y}}$

Giá trị của biểu thức $A$ tại $x$ $= 5;y$ $= 7$ là: $\frac{7}{{5 + 7}}$ $= \frac{7}{{12}}$.

b) Rút gọn biểu thức:

$B = \frac{{2x + y}}{{2{x^2} - xy}} + \frac{{8y}}{{{y^2} - 4{x^2}}} + \frac{{2x - y}}{{2{x^2} + xy}}\\ $ $= \frac{{2x + y}}{{x\left( {2x - y} \right)}} - \frac{{8y}}{{{{\left( {2x} \right)}^2} - {y^2}}} + \frac{{2x - y}}{{x\left( {2x + y} \right)}}\\ $ $= \frac{{\left( {2x + y} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} - \frac{{8xy}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}} + \frac{{\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x - y} \right)}}\\ $ $= \frac{{{{\left( {2x + y} \right)}^2} - 8xy + {{\left( {2x - y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right)}}\\ $ $= \frac{{4{x^2} + 4xy + {y^2} - 8xy + 4{x^2} - 4xy + {y^2}}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x - y} \right)}}\\ $ $= \frac{{8{x^2} - 8xy + 2{y^2}}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x - y} \right)}}$ $= \frac{{2{{\left( {2x - y} \right)}^2}}}{{x\left( {2x + y} \right)\left( {2x - y} \right)}}$ $= \frac{{2\left( {2x - y} \right)}}{{x\left( {2x + y} \right)}}$

Giá trị của biểu thức$B$ tại $x$ $= - \frac{1}{2};y$ $= \frac{3}{2}$ là: $\frac{{2\left( {2. - \frac{1}{2} - \frac{3}{2}} \right)}}{{ - \frac{1}{2}\left( {2.\frac{{ - 1}}{2} + \frac{3}{2}} \right)}}$ $= 20$

c) Rút gọn biểu thức:

$C = \left( {\frac{{{x^2}}}{y} - \frac{{{y^2}}}{x}} \right)\left( {\frac{{x + y}}{{{x^2} + xy + {y^2}}} + \frac{1}{{x - y}}} \right) - \frac{x}{y}\\ $ $= \left( {\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{xy}}} \right)\left( {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + {x^2} + xy + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}} \right) - \frac{x}{y}\\ $ $= \left( {\frac{{{x^3} - {y^3}}}{{xy}}} \right)\left( {\frac{{{x^2} - {y^2} + {x^2} + xy + {y^2}}}{{{x^3} - {y^3}}}} \right) - \frac{x}{y}\\ $ $= \frac{{{x^3} - {y^3}}}{{xy}}.\frac{{2{x^2} + xy}}{{{x^3} - {y^3}}} - \frac{x}{y}\\ $ $= \frac{{\left( {{x^3} - {y^3}} \right).x.\left( {2x + y} \right)}}{{xy.\left( {{x^3} - {y^3}} \right)}} - \frac{x}{y}\\ $ $= \frac{{2x + y}}{y} - \frac{x}{y}$ $= \frac{{x + y}}{y}$

Giá trị của biểu thức $C$ tại $x$ $= - 15;y$ $= 5$ là: $\frac{{ - 15 + 5}}{5}$ $= 2$