Bài 32 trang 63 SBT Toán 8 - Cánh diều: Cho đường thẳng $d: y = \left( {m - \frac{1}{2}} \right)x + 2m - 2$ với $m \ne \frac{1}{2}$...

Cho đường thẳng $d:y = \left( {m - \frac{1}{2}} \right)x + 2m - 2$ với $m \ne \frac{1}{2}$. Tìm giá trị của $m$ để:

a) Đường thẳng $d$ song song với đường thẳng ${d_1}:y = \frac{1}{2}mx - 2$ với $m \ne 0$;

b) Đường thẳng $d$ trùng với đường thẳng ${d_2}:y = x - \frac{2}{3}m + 2$;

c) Đường thẳng $d$ và đường thẳng ${d_3}:y = \sqrt 2 x - m + 2$ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục $Oy$.

Dựa vào điều kiện song song, trùng nhau, cắt nhau của hai đường thẳng để tìm giá trị của $m$.

a) Để $d$ song song với ${d_1}$ thì $m - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}m$ và $2m - 2 \ne - 2$. Suy ra $m = 1$.

Dễ thấy với $m = 1$ ta có $d$ và ${d_1}$ trở thành $d:y = \frac{1}{2}x$ và ${d_1}:y = \frac{1}{2}x - 2$. Khi đó, $d$ song song với ${d_1}$.

b) Để $d$ trùng với ${d_1}$ thì $m - \frac{1}{2} = 1$ và $2m - 2 = - \frac{2}{3}m + 2$. Suy ra $m = \frac{3}{2}$.

c) Đường thẳng $d$và đường thẳng ${d_3}$ lần lượt cắt trục $Oy$ tại $A\left( {;2m - 2} \right)$ và $B\left( {0; - m + 2} \right)$. Do đó, $d$ và ${d_3}$ cắt nhau tại một điểm nằm trên trục $Oy$ khi $m - \frac{1}{2} \ne \sqrt 2$ và $2m - 2 = - m + 2$. Suy ra $m = \frac{4}{3}$.

Dễ thấy với $m = \frac{4}{3}$ ta có $d$ và ${d_3}$ trở thành $d:y = \frac{5}{6}x + \frac{2}{3}$ và ${d_3}:y = \sqrt 2 x + \frac{2}{3}$

Khi đó $d$ và ${d_3}$ cắt nhau tại điểm $\left( {0;\frac{2}{3}} \right)$ nằm trên trục $Oy$