Bài 7 trang 60 SBT Toán 8 – Cánh diều: Cho $ABCD$ là hình bình hành. Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $BD, BC, DC$ lần lượt tại \(E, K...

Cho $ABCD$ là hình bình hành. Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $BD,BC,DC$ lần lượt tại $E,K,G$ (Hình 11). Chứng minh:

a) $A{E^2} = EK.EG$

b) $\frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}$

Hệ quả của định lí Thales: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

a) Do $AD//BK,AB//DG$ nên theo hệ quả của định lí Thales, ta có:

$\frac{{EK}}{{AE}} = \frac{{EB}}{{ED}} = \frac{{AE}}{{EG}}$ hay $\frac{{EK}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EG}}$

→ $A{E^2} = EK.EG$.

b) Ta có:

$\frac{{AE}}{{AK}} = \frac{{DE}}{{DB}};\frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{BE}}{{BD}}$

Nên $\frac{{AE}}{{AK}} + \frac{{AE}}{{AG}} = \frac{{DE}}{{DB}} + \frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BD}}{{BD}} = 1$

→ $AE.\left( {\frac{1}{{AK}} + \frac{1}{{AG}}} \right) = 1$

Vậy $\frac{1}{{AE}} = \frac{1}{{AK}} = \frac{1}{{AG}}$.