Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:
a) \(\left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( {4{x^2} + 6x + 9} \right)\);
b) \(\left( {2x - 1} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 1} \right) - 8\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\).
Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để thu gọn biểu thức
\({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\);
\({a^3} - {b^3} = \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\).
a) Ta có:
\(\left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - \left( {2x - 3} \right)\left( {4{x^2} + 6x + 9} \right)\)
\( = \left( {2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.3 + {3^2}} \right] - \left( {2x - 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.3 + {3^2}} \right]\)
\( = {\left( {2x} \right)^3} + {3^3} - \left[ {{{\left( {2x} \right)}^3} - {3^3}} \right] = 8{x^3} + 27 - \left( {8{x^3} - 27} \right)\)
\( = 8{x^3} + 27 - 8{x^3} + 27 = 54\).
Vậy đa thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến.
b) Ta có
\(\left( {2x - 1} \right)\left( {4{x^2} + 2x + 1} \right) - 8\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\)
\( = \left( {2x - 1} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2x.1 + {1^2}} \right] - 8\left( {x + 2} \right)\left[ {{x^2} - 2x. + {2^2}} \right]\)
\( = {\left( {2x} \right)^3} - {1^3} - 8\left( {{x^3} + {2^3}} \right) = 8{x^3} - 1 - 8{x^3} - 64 = - 65\).
Vậy đa thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến.