a) Biết số tự nhiên a chia 3 dư 2. Chứng minh \({a^2}\) chia 3 dư 1.
b) Biết số tự nhiên a chia 5 dư 3. Chứng minh \({a^2}\) chia 5 dư 4.
Sử dụng hằng đẳng thức:
\({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\).
a) a chia 3 dư 2 nên \(a = 3n + 2\).
b) a chia 5 dư 3 nên \(a = 5n + 3\).
a) Vì a chia 3 dư 2 nên \(a = 3n + 2\).
Advertisements (Quảng cáo)
Ta xét
\({a^2} = {\left( {3n + 2} \right)^2} = 9{n^2} + 12n + 4 = 9{n^2} + 12n + 3 + 1 = 3\left( {3{n^2} + 4n + 1} \right) + 1\)
Vì \(3\left( {3{n^2} + 4n + 1} \right) \vdots 3\) nên \(3\left( {3{n^2} + 4n + 1} \right) + 1\) chia 3 dư 1.
Vậy \({a^2}\) chia 3 dư 1.
b) Vì a chia 5 dư 3 nên \(a = 5n + 3\).
Ta xét
\({a^2} = {\left( {5n + 3} \right)^2} = 25{n^2} + 30n + 9 = 25{n^2} + 30n + 5 + 4 = 5\left( {5{n^2} + 6n + 1} \right) + 4\)
Vì \(5\left( {5{n^2} + 6n + 1} \right) \vdots 3\) nên \(5\left( {5{n^2} + 6n + 1} \right) + 4\) chia 5 dư 4.
Vậy \({a^2}\) chia 5 dư 4.