Tìm điểm M bên trong tứ giác ABCD sao cho tổng khoảng cách từ M đến bốn đỉnh A, B, C, D là bé nhất.
Sử dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại
Trước hết cho hai điểm phân biệt P, Q thì với mọi điểm M ta có MP+MQ≥PQ và MP+MQ=PQ chỉ khi M thuộc đoạn thẳng PQ.
Thật vậy,
• Nếu M không thuộc đường thẳng PQ thì MP+MQ>PQ (bất đẳng thức tam giác) (hình vẽ)
• Nếu M thuộc đoạn thẳng PQ thì MP+MQ=PQ (hình vẽ)
Advertisements (Quảng cáo)
• Nếu M thuộc đường thẳng PQ nhưng không thuộc đoạn thẳng PQ thì hoặc P nằm giữa M và Q hoặc Q nằm giữa P và M, dễ thấy trong cả hai trường hợp đó, MP+MQ>PQ (hình vẽ).
– Xét điểm M tuỳ ý trong tứ giác ABCD (hình vẽ).
Ta có:
MA+MC≥AC và MA+MC=AC khi điểm M nằm trên đoạn thẳng AC.
MB+MD≥BD và MB+MD=BD khi điểm M nằm trên đoạn thẳng BD.
Do đó MA+MB+MC+MD≥AC+BD và MA+MB+MC+MD=AC+BD chỉ khi M vừa thuộc đoạn thẳng AC vừa thuộc đoạn thẳng BD tức là M phải trùng với giao điểm O của AC và BD.