Câu 1.2 trang 83 Sách bài tập Toán 8 tập 2: Tam giác ABC vuông tại A có đường cao là AD (D ∈ BC). Từ D, kẻ DE...

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao là AD (D ∈ BC). Từ D, kẻ DE vuông góc với AB (E ∈ AB) và DF vuông góc với AC (F ∈ AC).

Hỏi rằng, khi độ dài các cạnh AB, AC thay đổi thì tổng ${{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}}$ có thay đổi hay không ? Vì sao?.

DE và CA cùng vuông góc với AB, do đó

DE // AC.

Theo định lí Ta-lét, ta có:

${{AE} \over {AB}} = {{CD} \over {CB}}$ (1)

Tương tự, ta có: DF // AB, do đó:

${{AF} \over {AC}} = {{BD} \over {BC}}$ (2)

Cộng các vế tương ứng của (1) và (2), ta có:

${{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}} = {{CD} \over {CB}} + {{BD} \over {BC}} = {{CD + BD} \over {BC}} = {{BC} \over {BC}} = 1$

Tổng ${{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}}$ không thay đổi vì luôn có giá trị bằng 1.

Vậy : Khi độ dài cạnh góc vuông AB, AC của tam giác vuông ABC thay đổi thì tổng ${{AE} \over {AB}} + {{AF} \over {AC}}$ luôn luôn không thay đổi. Tổng đó luôn có giá trị bằng 1.