Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng IK vuông góc với MN.
Giải:
Trong ∆ BCD ta có:
K là trung điểm của BC (gt)
N là trung điểm của CD (gt)
nên NK là đường trung bình của ∆ BCD
⇒ NK // BD và NK =\({1 \over 2}\)BD (1)
Trong ∆ BED ta có:
M là trung điểm của BE (gt)
I là trung điểm của DE (gt)
Advertisements (Quảng cáo)
nên MI là đường trung bình của ∆ BED
⇒ MI // BD và MI =\({1 \over 2}\)BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: MI // NK và MI = NK
nên tứ giác MKNI là hình bình hành
Trong ∆ BEC ta có:
MK là đường trung bình
MK = \({1 \over 2}\)CE (tính chất đường trung bình của tam giác)
BD = CE (gt)
Suy ra: MK = KN
Vây hình bình hành MKNI là hình thoi.
⇒ IK ⊥ MN (tính chất hình thoi)