Câu 23 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Tính BC, BD và CD....

Tam giác vuông ABC có$\widehat A = 90^\circ$, AB = 12cm, AC = 16cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D.

a. Tính BC, BD và CD.

b. Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD.

Giải:

a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400$

Suy ra: BC = 20 (cm)

Vì AD là đường phân giác của $\widehat {BAC}$  nên:

${{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}$ (tính chất đường phân giác )

Suy ra: ${{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}$

hay ${{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}$

Suy ra: $DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{20.12} \over {12 + 16}} = {{60} \over 7}$ (cm)

Vậy: DC = BC – DB = $20 - {{60} \over 7} = {{80} \over 7}$ (cm)

b. Ta có: ${S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}AH.BC$

Suy ra: AB.AC = AH.BC

$\Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{12.16} \over {20}} = 9,6$  (cm)

Trong tam giác vuông AHB, ta có: $\widehat {AHB} = 90^\circ$

Theo định lí Pi-ta-go, ta có: $A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}$

Suy ra:

$\eqalign{  & H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = {12^2} - {\left( {9,6} \right)^2} = 51,84  \cr  &  \Rightarrow HB = 7,2(cm) \cr}$

Vậy $HD = BD - HB = {{60} \over 7} - 7,2 \approx 1,37$ (cm)

Trong tam giác vuông AHD, ta có: $\widehat {AHD} = 90^\circ$

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

$A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} = {\left( {9,6} \right)^2} + {\left( {1,37} \right)^2} = 94,0369$

Suy ra: AD ≈ 9,70 (cm)