Câu 33 trang 33 SBT môn Toán 8 tập 1: Tính tích x, y, biết rằng x và y thỏa mãn các đẳng thức sau (a, b là...

Tính tích x, y , biết rằng x và y thỏa mãn các đẳng thức sau (a, b là các hằng số) :

a. $\left( {4{a^2} - 9} \right)x = 4a + 4$với a ≠ $\pm {3 \over 2}$ và $\left( {3{a^3} + 3} \right)y = 6{a^2} + 9a$ với a ≠ − 1

b. $\left( {2{a^3} - 2{b^3}} \right)x - 3b = 3a$với a ≠ b và $\left( {6a + 6b} \right)y = {\left( {a - b} \right)^2}$ với a ≠ − b

Chú ý rằng${a^2} + ab + {b^2} = {a^2} + 2a.{b \over 2} + {{{b^2}} \over 4} + {{3{b^2}} \over 4} = {\left( {a + {b \over 2}} \right)^2} + {{3{b^2}} \over 4} \ge 0$.

Do đó nếu a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 thì${a^2} + ab + {b^2} > 0$

a. Vì a ≠ $\pm {3 \over 2}$ nên$4{a^2} - 9 \ne 0 \Rightarrow x = {{4a + 4} \over {4{a^2} - 9}}$

Vì a ≠ − 1 nên $3{a^3} + a \ne 0 \Rightarrow y = {{6{a^2} + 9a} \over {3{a^3} + a}}$

Do đó: $xy = {{4a + 4} \over {4{a^2} - 9}}.{{6{a^2} + 9a} \over {3{a^3} + 3}} = {{4\left( {a + 1} \right).3a\left( {2a + 3} \right)} \over {\left( {2a + 3} \right)\left( {2a - 3} \right).3\left( {{a^3} + 1} \right)}}$

                $= {{4a\left( {a + 1} \right)} \over {\left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}} = {{4a} \over {\left( {2a - 3} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}$

b. Vì a ≠ b nên $2{a^3} - 2{b^3} \ne 0 \Rightarrow x = {{3a + 3b} \over {2{a^3} - 2{b^3}}}$

Vì a ≠ − b nên $6a + 6b \ne 0 \Rightarrow y = {{{{\left( {a - b} \right)}^2}} \over {6a + 6b}}$

Do đó: $xy = {{3a + 3b} \over {2{a^3} - 2{b^3}}}.{{{{\left( {a - b} \right)}^2}} \over {6a + 6b}} = {{3\left( {a + b} \right){{\left( {a - b} \right)}^2}} \over {2\left( {{a^3} - {b^3}} \right).6\left( {a + b} \right)}}$

               $= {{{{\left( {a - b} \right)}^2}} \over {4\left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}} = {{a - b} \over {4\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}}$