Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:
a. A=x2−6x+11
b. B=2x2+10x−1
c. C=5x−x2
a. A=x2−6x+11 =x2−2.3x+9+2=(x−3)2+2
Ta có: (x−3)2≥0⇒(x−3)2+2≥2
⇒A≥2. Vậy A = 2 là giá trị bé nhất của biểu thức tại x=3
Advertisements (Quảng cáo)
b. B = 2{x^2} + 10x – 1= 2\left( {{x^2} + 5x - {1 \over 2}} \right)
\eqalign{ & = 2\left[ {x + 2.{5 \over 2}x + {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} - {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} - {1 \over 2}} \right] \cr & = 2\left[ {{{\left( {x + {5 \over 2}} \right)}^2} - {{25} \over 4} - {2 \over 4}} \right] = 2\left[ {{{\left( {x + {5 \over 2}} \right)}^2} - {{27} \over 4}} \right] = 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} - {{27} \over 2} \cr}
Vì {\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} - {{27} \over 2} \ge - {{27} \over 2}
\Rightarrow B \ge {{27} \over 2}. Vậy B = - {{27} \over 2} là giá trị nhỏ nhất tại x = - {5 \over 2}
c. C= 5x - {x^2} = - ({x^2} - 5x) = - \left[ {{x^2} - 2.{5 \over 2}x + {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} - {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2}} \right]
= - \left[ {{{\left( {x - {5 \over 2}} \right)}^2} - {{25} \over 4}} \right] = - {\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} + {{25} \over 4}
Vì {\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow - {\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} \le 0 \Rightarrow - {\left( {x - {5 \over 2}} \right)^2} + {{25} \over 4} \le {{25} \over 4}
\Rightarrow C \le {{25} \over 4}. Vậy C = {{25} \over 4} là giá trị nhỏ nhất tại x = {5 \over 2}