Câu 95 trang 92 Sách bài tập Toán 8 tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối...

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng nhau qua điểm A.

Giải:                                                                          

Vì E đối xứng với D qua AB

⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE

⇒ AD = AE (tính chất đường trung trực)

nên ∆ ADE cân tại A

Suy ra: AB là đường phân giác của $\widehat {DAE} \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {{A_2}}$

Vì F đối xứng với D qua AC

⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF

⇒ AD = AF ( tính chất đường trung trực)

nên ∆ ADF cân tại A

Suy ra: AC là đường phân giác của $\widehat {DAF}$

$\Rightarrow {\widehat A_3} = {\widehat A_4}$

$\widehat {EAF} = \widehat {EAD} + \widehat {{\rm{DAF}}} = {\widehat A_2} + {\widehat A_1} + {\widehat A_3} + {\widehat A_4}$

$= 2\left( {{{\widehat A}_1} + {{\widehat A}_3}} \right) = {2.90^0} = {180^0}$

⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD

nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với F qua điểm A.