Câu IV.5 trang 159 SBT Toán 8 tập 2: Cho hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông, các cạnh đáy là a và b....

Cho hình chóp cụt đều có đáy là hình vuông, các cạnh đáy là a và b. Biết diện tích xung quanh bằng tổng diện tích hai đáy, tính chiều cao của hình chóp cụt đều.

Giải:

(hình bs.19 trang 181 sbt)

Xét hình chóp cụt đều ABCD.A’B’C’D’ như hình bs.19.

Gọi M, M’ thứ tự là trung điểm của BC, B’C’. Khi đó MM’ là đường cao của hình thang cân BCC’B’.

Do đó diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều là:

\({S_{xq}} = 4.{{a + b} \over 2}.MM’ = \left( {2a + 2b} \right).MM’\)

Từ giả thiết ta có:

\(\left( {2a + 2b} \right).MM’ = {a^2} + {b^2}$hay $MM’ = {{{a^2} + {b^2}} \over {2\left( {a + b} \right)}}\) (1)

Dễ thấy OM // O’M’ nên OM và O’M’ xác định mặt phẳng (OMM’O’). Trong mặt phẳng (OMM’O’), kẻ MH ⊥ O’M’. Khi đó: HM’ = O’M’ – O’H = \({{b – a} \over 2}\)

Trong tam giác vuông MHM’ ta có:

\(MM{‘^2} = M{H^2} + HM{‘^2} = {h^2} + {\left( {{{b – a} \over 2}} \right)^2}\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

\(\eqalign{  & {h^2} + {\left( {{{b – a} \over 2}} \right)^2} = {{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}} \over {4{{\left( {a + b} \right)}^2}}}  \cr  &  \Rightarrow {h^2} = {{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} – {{\left( {{b^2} – {a^2}} \right)}^2}} \over {4{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = {{{a^2}{b^2}} \over {{{\left( {a + b} \right)}^2}}} \cr} \)

Vậy \(h = {{ab} \over {a + b}}\)