Hoạt động1
Cho tam giác \(ABC\), vẽ đường thẳng \(d\) đi qua trung điểm \(M\) của cạnh \(AB\), song song với cạnh \(BC\) và cắt \(AC\) tại \(N\) (Hình 1). Hãy chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AC\).
Sử dụng định lí Thales
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Xét tam giác \(ABC\) có \(MN//BC\) nên áp dụng định lí Thales cho tam giác ta có:
\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).
Mà \(M\) là trung điểm của \(AB\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC\) hay \(\frac{{AM}}{{BC}} = \frac{1}{2}\).
Do đó, \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AN = \frac{1}{2}AC\).
Do đó, \(N\) là trung điểm của \(AC\).
Thực hành1
Tìm độ dài đoạn thẳng \(NQ\) trong Hình 4.
Sử dụng định lí Thales
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Từ hình vẽ ta có: \(\widehat {OMN} = \widehat {OPQ}\).
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(MN//PQ\)
Xét tam giác \(OPQ\) có \(MN//PQ\) nên áp dụng định lí Thales cho tam giác ta có:
\(\frac{{OM}}{{MP}} = \frac{{ON}}{{NQ}} \Leftrightarrow \frac{5}{5} = \frac{4}{{NQ}} \Rightarrow NQ = \frac{{4.5}}{5} = 4\).
Vậy \(NQ = 4\).
Vận dụng1
Trong Hình 5, chứng minh \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).
- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh tam giác.
- Hệ quả của định lí Thales
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AB\\CA \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow MN//CA\) (Quan hệ từ vuông góc đến song song).
Ta có:
\(AM = BM \Rightarrow BM = \frac{1}{2}AB \Leftrightarrow \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{1}{2}\) hay \(M\) là trung điểm của \(AB\).
Xét tam giác \(ABC\) có \(NM//AC;MN\) cắt \(BA;BC\) lần lượt tại \(M;N\). Theo hệ quả của định lí Thales ta có:
\(\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{BN}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{1}{2}\)
Hay \(2BN = BC\). Do đó, \(N\) là trung điểm của \(BC\).
Xét tam giác \(ABC\) có:
\(M\) là trrung điểm của \(AB\)
\(N\) là trrung điểm của \(BC\)
Do đó, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) (điều phải chứng minh).