Giải mục 2 trang 53 Toán 8 tập 2– Chân trời sáng tạo: Cho $M, N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $AB;AC$ của tam giác $ABC$...

Hoạt động2

Cho $M,N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $AB;AC$ của tam giác $ABC$.

a) Tính các tỉ số $\frac{{AM}}{{AB}},\frac{{AN}}{{AC}}$;

b) Cứng mình $MN//BC$;

c) Chứng minh $\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}$.

- Tỉ số giữa hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng khi cùng đơn vị đo.

- Định lí Thales đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

- Hệ quả định lí Thales

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

a) Vì $AM = MB \Rightarrow M$ là trung điểm của $AB$ (do $M$ thuộc $AB$)

$\Rightarrow AM = \frac{1}{2}AB \Leftrightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}$;

Vì $AN = NC \Rightarrow N$ là trung điểm của $AC$ (do $N$ thuộc $AC$)

$\Rightarrow AN = \frac{1}{2}AC \Leftrightarrow \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2}$.

b) Vì $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2};\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$.

Xét tam giác $ABC$ có $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}$ nên áp dụng định lí Thales đảo ta được $MN//BC$.

c) Xét tam giác $ABC$ có $MN//BC$ nên áp dụng hệ quả định lí Thales ta được $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}$

Mà $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}$.

Vậy $\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}$ (điều phải chứng minh).

Thực hành2

Trong Hình 8, cho biết $JK = 10cm;DE = 6,5cm;EL = 3,7cm$. Tính $DJ;EF;DF;KI$.

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Vì $DJ = KD \Rightarrow D$ là trung điểm của $JK$

$\Rightarrow DJ = DK = \frac{1}{2}JK = \frac{1}{2}.10 = 5cm$;

Vì $EJ = EL \Rightarrow E$ là trung điểm của $JL$.

$\Rightarrow 2EL = JL \Leftrightarrow JL = 2.3,7 = 7,4cm$.

Vì $KF = LF \Rightarrow F$ là trung điểm của $KL$.

- Vì $D$ là trung điểm của $JK$; $E$ là trung điểm của $JL$ nên $ED$ là đường trung bình của tam giác $JLK$$\Rightarrow ED = \frac{1}{2}KL$ (tính chất đường trung bình)

Do đó, $KL = 2ED = 2.6,5 = 13cm$;

- Vì $E$ là trung điểm của $JL$; $F$ là trung điểm của $KL$ nên $EF$ là đường rung bình của tam giác $JLK$$\Rightarrow EF = \frac{1}{2}JK$ (tính chất đường trung bình)

$\Leftrightarrow EF = \frac{1}{2}.10 = 5cm$.

- Vì $D$ là trung điểm của $KJ$; $F$ là trung điểm của $KL$ nên $DF$ là đường rung bình của tam giác $JLK$$\Rightarrow DF = \frac{1}{2}JL$ (tính chất đường trung bình)

$\Leftrightarrow DF = \frac{1}{2}.7,4 = 3,7cm$.

Vậy $DJ = 5cm;EF = 5cm;DF = 3,7cm;KL = 13cm$

Vận dụng2

Hãy tính khoảng cách $BC$ trong phần câu hỏi khởi động trang 52.

- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm của tam giác.

- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Vì $BD = DA \Rightarrow D$ là trung điểm của $AB$;

Vì $EC = EA \Rightarrow E$ là trung điểm của $AC$.

Do đó, $DE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DE//BC\\DE = \frac{1}{2}BC\end{array} \right.$ (tính chất đường trung bình).

$\Rightarrow 45 = \frac{1}{2}BC \Leftrightarrow BC = 45.2 = 90\left( m \right)$

Vậy khoảng các của hai điểm $B$ và $C$ là 90 m.