Bài 2.19 trang 41 Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức: Rút gọn biểu thức sau:...

Rút gọn biểu thức sau:

a) ${\left( {x - 2} \right)^3} + {\left( {x + 2} \right)^3} - 6x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)$

b) ${\left( {2x - y} \right)^3} + {\left( {2x + y} \right)^3}$.

Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để khai triển

${\left( {a+b} \right)^3} = {a}^3 + 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} + {{b}^3}$

${\left( {a-b} \right)^3} = {a}^3 - 3.{a}^2.b + 3.{a}.{{b}^2} - {{b}^3}$

a)

$\begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^3} + {\left( {x + 2} \right)^3} - 6x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\\ = \left( {x - 2 + x + 2} \right).\left[ {{{\left( {x - 2} \right)}^2} - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) + {{\left( {x + 2} \right)}^2}} \right] - 6x\left( {{x^2} - 4} \right)\\ = 2x\left( {{x^2} - 4x + 4 - {x^2} + 4 + {x^2} + 4x + 4} \right) - \left( {6{x^3} - 24x} \right)\\ = 2x.\left( {{x^2} + 12} \right) - 6{x^3} + 24x\\ = 2{x^3} + 24x - 6{x^3} + 24x\\ = - 4{x^3} + 48x\end{array}$

b)

$\begin{array}{l}{\left( {2x - y} \right)^3} + {\left( {2x + y} \right)^3}\\ = \left( {2x - y + 2x + y} \right)\left[ {{{\left( {2x - y} \right)}^2} - \left( {2x - y} \right)\left( {2x + y} \right) + {{\left( {2x + y} \right)}^2}} \right]\\ = 4x.\left( {4{x^2} - 4xy + {y^2} - 4{x^2} + {y^2} + 4{x^2} + 4xy + {y^2}} \right)\\ = 4x.\left( {4{x^2} + 3{y^2}} \right)\\ = 4x.4{x^2} + 4x.3{y^2}\\ = 16{x^3} + 12x{y^2}\end{array}$