Giải mục 2 trang 35 Toán 8 tập 1 - Kết nối tri thức: Với hai số bất kì...

Hoạt động2

Với hai số $a,b$ bất kì, viết $a - b = a + \left( { - b} \right)$ và áp dụng hằng đẳng thức lập phương của một tổng để tính ${\left( {a - b} \right)^3}$.

Từ đó rút ra liên hệ giữa ${\left( {a - b} \right)^3}$ và ${a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}$.

Sử dụng hằng đẳng thức${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$

${\left( {a - b} \right)^3} = {\left[ {a + \left( { - b} \right)} \right]^3} = {a^3} + 3.{a^2}.\left( { - b} \right) + 3.a.{\left( { - b} \right)^2} + {\left( { - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}$

Từ đó ta có ${\left( {a - b} \right)^3} = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3}$

Luyện tập 3

Khai triển ${\left( {2x - y} \right)^3}$

Sử dụng hằng đẳng thức${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}$

${\left( {2x - y} \right)^3} = {\left( {2x} \right)^3} - 3.{\left( {2x} \right)^2}.y + 3.2x.{y^2} - {y^3} = 8{x^3} - 12{x^2}y + 6x{y^2} - {y^3}$

Luyện tập 4

Viết biểu thức sau dưới dạng lập phương của một hiệu

$8{x^3} - 36{x^2}y + 54x{y^2} - 27{y^3}$.

Sử dụng hằng đẳng thức${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}$

$\begin{array}{l}8{x^3} - 36{x^2}y + 54x{y^2} - 27{y^3}\\ = {\left( {2x} \right)^3} - 3.{\left( {2x} \right)^2}.3y + 3.\left( {2x} \right).{\left( {3y} \right)^2} - {\left( {3y} \right)^3}\\ = {\left( {2x - 3y} \right)^3}\end{array}$

Vận dụng

Rút gọn biểu thức

${\left( {x - y} \right)^3} + {\left( {x + y} \right)^3}$.

Sử dụng 2 hằng đẳng thức:

$\begin{array}{l} + ){\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\\ + ){\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left( {x - y} \right)^3} + {\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} - 3{x^2}y + 3x{y^2} - {y^3} + {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\\ = \left( {{x^3} + {x^3}} \right) + \left( { - 3{x^2}y + 3{x^2}y} \right) + \left( {3x{y^2} + 3x{y^2}} \right) + \left( { - {y^3} + {y^3}} \right)\\ = 2{x^3} + 6x{y^2}\end{array}$