Hoạt động 8 trang 164 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và có độ dài lần lượt là AC = d1, BD = d2 (h.14). Hãy chứng tỏ...

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và có độ dài lần lượt là AC = d₁, BD = d₂ (h.14). Hãy chứng tỏ hình chữ nhật EFGH có diện tích gấp đôi tứ giác ABCD. Từ đó, diện tích tứ giác ABCD.

${S_{EBOA}} = OA.OB$ (EBOA là hình chữ nhật),

${S_{OAB}} = {1 \over 2}OA.OB$ ($\Delta OAB$ vuông tại O)

Do đó ${S_{EBOA}} = 2{S_{OAB}}$

Tương tự: ${S_{BFCO}} = 2{S_{OBC}},\,\,{S_{OCGD}} = 2{S_{OCD}},\,\,{S_{AODH}} = {S_{OAD}}$

Do vậy

$\eqalign{  & {S_{EFGH}} = {S_{EBOA}} + {S_{BFCO}} + {S_{OCGD}} + {S_{AODH}}  \cr  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{S_{OAB}} + 2{S_{OBC}} + 2{S_{OCD}} + 2{S_{OAD}}  \cr  & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {{S_{OAB}} + {S_{OBC}} + {S_{OCD}} + {S_{OAD}}} \right) = 2{S_{ABCD}} \cr}$

Mà ${S_{EFGH}} = {d_1}{d_2}$

Do đó $2{S_{ABCD}} = {d_1}{d_2}$.

Vậy ${S_{ABCD}} = {1 \over 2}{d_1}{d_2}$.