Bài 64 trang 100 sgk Toán 8 tập 1, Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D...

Bài 64. Cho hình bình hành $ABCD$. Các tia phân giác của các góc $A, B, C, D$ cắt nhau như trên hình 91. Chứng minh rằng $EFGH$ là hình chữ nhật.

Theo giả thiết $ABCD$ là hình bình hành nên theo tính  chất của hình bình hành ta có:

     $\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D$                                (1)

Theo định lí tổng các góc trong một tứ giác ta có:

     $\widehat A + \widehat C + \widehat B + \widehat D = {360^0}$                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat A + \widehat B = {{{{360}^0}} \over 2} = {180^0}$

$AG$ là tia phân giác góc $\widehat A$ nên ta có: $\widehat {BAG} = {1 \over 2}\widehat A$

$BG$ là tia phân giác góc $\widehat B$ nên ta có: $\widehat {ABG} = {1 \over 2}\widehat B$

Do đó: $\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = {1 \over 2}\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {1 \over 2}{.180^0} = {90^0}$

Xét tam giác $AGB$ có: $\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = {90^0}$       (3)

Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có:

     $\widehat {BAG} + \widehat {ABG} + \widehat {AGB} = {180^0}$                       (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $\widehat {AGB} = {90^0}$        

Chứng minh tương tự ta được: $\widehat {DEC} = \widehat {EHG} = {90^0}$

Tứ giác $EFGH$ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.