Bài 64. Cho hình bình hành \(ABCD\). Các tia phân giác của các góc \(A, B, C, D\) cắt nhau như trên hình 91. Chứng minh rằng \(EFGH\) là hình chữ nhật.
Theo giả thiết \(ABCD\) là hình bình hành nên theo tính chất của hình bình hành ta có:
\(\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D\) (1)
Theo định lí tổng các góc trong một tứ giác ta có:
\(\widehat A + \widehat C + \widehat B + \widehat D = {360^0}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat A + \widehat B = {{{{360}^0}} \over 2} = {180^0}\)
\(AG\) là tia phân giác góc \(\widehat A\) nên ta có: \(\widehat {BAG} = {1 \over 2}\widehat A\)
\(BG\) là tia phân giác góc \(\widehat B\) nên ta có: \(\widehat {ABG} = {1 \over 2}\widehat B\)
Advertisements (Quảng cáo)
Do đó: \(\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = {1 \over 2}\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {1 \over 2}{.180^0} = {90^0}\)
Xét tam giác \(AGB\) có: \(\widehat {BAG} + \widehat {ABG} = {90^0}\) (3)
Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có:
\(\widehat {BAG} + \widehat {ABG} + \widehat {AGB} = {180^0}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat {AGB} = {90^0}\)
Chứng minh tương tự ta được: \(\widehat {DEC} = \widehat {EHG} = {90^0}\)
Tứ giác \(EFGH\) có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.