Bài 65 trang 100 sgk Toán 8 tập 1, Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi...

Bài 65. Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi $E, F, G, H$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AB, BC, CD, DA$. Tứ giác $EFGH$ là hình gì ? Vì sao ?

Ta có $EB = EA, FB = FC$ (do $E,F$ là trung điểm của $AB,BC$)

$EF$ là đường trung bình của $∆ABC$

Do đó $EF // AC$  (1)

Do $G,H$ là trung điểm của \(CD,DA) nên

$HG$ là đường trung bình của $∆ADC$

Do đó $HG // AC$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $EF // HG$

Chứng minh tương tự $EH // FG$

Do đó $EFGH$ là hình bình hành.

Ta có: $EF // AC$ và $EH//BD$ mà $AC\bot BD$ nên $EF\bot EH$

Hay $\widehat{FEH} = 90^0$

Hình bình hành $EFGH$  có $\widehat{E} = 90^0$ nên là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).