Bài 4.20 trang 48, 49 SBT Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng 1/AH^2 = 1/AB^2 + 1/AC^2. (HD...

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$.

(HD: ta có $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}},\sin C = \frac{{AH}}{{AC}},\cos B = \sin C$ và áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ với mọi góc nhọn $\alpha$).

+ Tam giác ABH vuông tại H nên $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}$ suy ra $\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}}$.

+ Tam giác AHC vuông tại H nên $\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}$ suy ra $\frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}}$

+ Vì B và C là hai góc phụ nhau nên $\cos B = \sin C$, suy ra ${\cos ^2}B = {\sin ^2}C$.

+ $\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}} + \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{{{{\cos }^2}B + {{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}$

Tam giác ABH vuông tại H nên $\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}$,

do đó, $\frac{1}{{AB}} = \frac{{\sin B}}{{AH}}$,

suy ra $\frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}}$.

Tam giác AHC vuông tại H nên $\sin C = \frac{{AH}}{{AC}}$,

do đó $\frac{1}{{AC}} = \frac{{\sin C}}{{AH}}$,

suy ra $\frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}}$.

Vì B và C là hai góc phụ nhau nên $\cos B = \sin C$, suy ra ${\cos ^2}B = {\sin ^2}C$.

Ta có:

$\frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{{{{\sin }^2}C}}{{A{H^2}}} + \frac{{{{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{{{{\cos }^2}B + {{\sin }^2}B}}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}}$