Bài 4.23 trang 49 SBT Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1: Cho A, B là hai địa điểm ở hai bên bờ sông, biết AN và PM cùng vuông góc MN...

Cho A, B là hai địa điểm ở hai bên bờ sông, biết AN và PM cùng vuông góc MN, $MN = n$ (mét), $MP = p$ (mét), $p > n$ và $\widehat {MPA} = \alpha$ (H.4.12). Chứng minh rằng: $AB = \frac{{p\tan \alpha - n}}{{\sin \alpha }}$.

+ Chứng minh $\widehat {BAN} = \widehat {BPM} = \alpha$.

+ Tam giác BAN vuông tại N có: $BN = AB.\sin \alpha$.

+ Tam giác BPM vuông tại M có: $BM = PM\tan \alpha = p\tan \alpha$.

+ $BM - BN = MN = n$ nên $p\tan \alpha - AB\sin \alpha = n$, từ đó tính được AB theo n, p, $\alpha$.

Vì AN//PM nên $\widehat {BAN} = \widehat {BPM} = \alpha$.

Tam giác BAN vuông tại N có:

$BN = AB.\sin \alpha$.

Tam giác BPM vuông tại M có:

$BM = PM\tan \alpha = p\tan \alpha$.

Vì $BM - BN = MN = n$ nên $p\tan \alpha - AB\sin \alpha = n$.

Suy ra $AB = \frac{{p\tan \alpha - n}}{{\sin \alpha }}$.