Bài 4.29 trang 51 SBT Toán 9 - Kết nối tri thức tập 1: Xét điểm B nằm giữa hai điểm A và H...

Xét điểm B nằm giữa hai điểm A và H. Giả sử có điểm D sao cho DH vuông góc với AB và $\widehat {DAH} = {15^o},\widehat {DBH} = {30^o}$. Chứng minh rằng $HD = \frac{{AB}}{2}$.

+ Tam giác HDB vuông tại H nên $\frac{{HD}}{{BD}} = \sin \widehat {HBD}$.

+ Tính được góc ADB của tam giác ABD, từ đó suy ra tam giác ABD cân tại D nên $BD = AB$.

+ Do đó, $BD = AB = 2HD$, suy ra điều phải chứng minh.

Tam giác HDB vuông tại H nên $\frac{{HD}}{{BD}} = \sin \widehat {HBD} = \sin {30^o} = \frac{1}{2}$ nên $BD = 2HD$.

Tam giác ABD có $\widehat {ABD} = {180^o} - \widehat {DBH} = {150^o},$ $\widehat {BAD} = {15^o}$ nên $\widehat {ADB} = {180^o} - \widehat {ABD} - \widehat A = {15^o}$.

Do đó tam giác ABD cân tại B. Suy ra $BD = AB$.

Suy ra $BD = AB = 2HD$ nên $HD = \frac{{AB}}{2}$.