Câu hỏi/bài tập:
Cho đường tròn tâm O, đường kính MN. Một đường tròn (N) cắt (O) tại A và B.
a) Chứng minh rằng MA và MB là hai tiếp tuyến của (N).
b) Đường thẳng qua N và vuông góc với NA cắt MB tại C. Chứng minh hai điểm M và N đối xứng với nhau qua OC.
c) Đường thẳng qua M và vuông góc với MA cắt NB tại D. Chứng minh ba điểm O, C và D thẳng hàng.
a) + Chứng minh OA=OB=OM=ON.
+ Chứng minh tam giác MAN vuông tại A nên MA⊥AN tại A, suy ra MA là tiếp tuyến của (N).
+ Chứng minh tam giác MBN vuông tại B nên MB⊥BN tại B, suy ra MB là tiếp tuyến của (N).
b) + Chứng minh ^M1=^N1, ^M1=^M2 nên ^M2=^N1. Suy ra, tam giác CMN cân tại C. Do đó, CO là đường trung trực của MN. Do đó, hai điểm M và N đối xứng với nhau qua OC
c) + Vì MA⊥MD và MD//AC (cùng vuông góc với MA) nên ^DMN=^ANM
+ Chứng minh ^DNM=^ANM suy ra ^DMN=^DNM nên tam giác DMN cân tại D, suy ra D nằm trên đường trung trực CO của MN. Vậy ba điểm O, C và D thẳng hàng.
a) Vì M, A, N, B thuộc (O) nên OA=OB=OM=ON.
Tam giác MAN có OA=OM=ON=12MN, tức là trung tuyến OA có độ dài bằng nửa độ dài cạnh MN nên tam giác MAN vuông tại A.
Advertisements (Quảng cáo)
Do đó, MA⊥AN tại A.
Mà A thuộc (N) nên MA là tiếp tuyến của (N).
Tam giác MBN có OB=OM=ON=12MN, tức là trung tuyến OB có độ dài bằng nửa độ dài cạnh MN nên tam giác MBN vuông tại B.
Do đó, MB⊥BN tại B.
Mà B thuộc (N) nên MB là tiếp tuyến của (N).
b) Vì AM//NC (cùng vuông góc với AN) nên ^M1=^N1.
Vì MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (N) nên MN là phân giác của góc AMB.
Do đó, ^M1=^M2.
Do đó, ^M2=^N1.
Suy ra, tam giác CMN cân tại C.
Do đó, trung tuyến CO (vì OM=ON) đồng thời là đường trung trực của MN.
Do đó, hai điểm M và N đối xứng với nhau qua OC.
c) Vì MA⊥MD và MD//AC (cùng vuông góc với MA) nên ^DMN=^ANM.
Vì MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau của (N) nên NM là phân giác của góc ANB.
Do đó, ^DNM=^ANM
Do đó, ^DMN=^DNM nên tam giác DMN cân tại D, suy ra D nằm trên đường trung trực CO của MN.
Vậy ba điểm O, C và D thẳng hàng.