Câu hỏi/bài tập:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 1). Gọi B, C và D là các điểm đối xứng với A lần lượt qua trục hoành, qua gốc O và qua trục tung.
a) Xác định tọa độ của ba điểm B, C và D.
b) Có hay không một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C và D. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó, nếu có.
a) - Vì B đối xứng với A qua trục hoành nên:
+ AB vuông góc với Ox, suy ra A và B có cùng hoành độ.
+ A và B cách đều Ox, nên A và B có tung độ đối nhau.
- Vì C đối xứng với A qua gốc O nên O là trung điểm của AC. Do đó, A và C có hoành độ và tung độ đối nhau.
- Vì D đối xứng với A qua trục tung nên:
+ AD vuông góc với Oy, suy ra A và D có cùng tung độ.
+ A và D cách đều Oy, nên A và D có hoành độ đối nhau.
b) + Gọi H là hình chiếu của D trên trục Ox. Khi đó, H(-3; 0) và DH vuông góc với OH.
+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DOH vuông tại H tính được \(OD = \sqrt {10} \)
+ Tương tự ta tính được \(OA = OB = OC = \sqrt {10} \)
+ Vì \(OA = OB = OC = OD = \sqrt {10} \) nên bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc đường tròn (O, \(\sqrt {10} \)).
a) Vì B đối xứng với A qua trục hoành nên:
+ AB vuông góc với Ox, suy ra A và B có cùng hoành độ.
+ A và B cách đều Ox, nên A và B có tung độ đối nhau.
Suy ra: B(3; -1)
Vì C đối xứng với A qua gốc O nên O là trung điểm của AC. Do đó, A và C có hoành độ và tung độ đối nhau. Suy ra C(-3; -1).
Vì D đối xứng với A qua trục tung nên:
+ AD vuông góc với Oy, suy ra A và D có cùng tung độ.
+ A và D cách đều Oy, nên A và D có hoành độ đối nhau.
Suy ra D(-3; 1).
b) Gọi H là hình chiếu của D trên trục Ox. Khi đó, H(-3; 0) và DH vuông góc với OH.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DOH vuông tại H ta có: \(O{D^2} = D{H^2} + O{H^2} = {1^2} + {3^2} = 10\) nên \(OD = \sqrt {10} \).
Tương tự ta có: \(OA = OB = OC = \sqrt {10} \).
Vì \(OA = OB = OC = OD = \sqrt {10} \) nên bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc đường tròn (O, \(\sqrt {10} \)).