Bài 5.4 trang 56 SBT toán 9 - Kết nối tri thức tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 1). Gọi B...

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 1). Gọi B, C và D là các điểm đối xứng với A lần lượt qua trục hoành, qua gốc O và qua trục tung.

a) Xác định tọa độ của ba điểm B, C và D.

b) Có hay không một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C và D. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó, nếu có.

a) - Vì B đối xứng với A qua trục hoành nên:

+ AB vuông góc với Ox, suy ra A và B có cùng hoành độ.

+ A và B cách đều Ox, nên A và B có tung độ đối nhau.

- Vì C đối xứng với A qua gốc O nên O là trung điểm của AC. Do đó, A và C có hoành độ và tung độ đối nhau.

- Vì D đối xứng với A qua trục tung nên:

+ AD vuông góc với Oy, suy ra A và D có cùng tung độ.

+ A và D cách đều Oy, nên A và D có hoành độ đối nhau.

b) + Gọi H là hình chiếu của D trên trục Ox. Khi đó, H(-3; 0) và DH vuông góc với OH.

+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DOH vuông tại H tính được $OD = \sqrt {10}$

+ Tương tự ta tính được $OA = OB = OC = \sqrt {10}$

+ Vì $OA = OB = OC = OD = \sqrt {10}$ nên bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc đường tròn (O, $\sqrt {10}$).

a) Vì B đối xứng với A qua trục hoành nên:

+ AB vuông góc với Ox, suy ra A và B có cùng hoành độ.

+ A và B cách đều Ox, nên A và B có tung độ đối nhau.

Suy ra: B(3; -1)

Vì C đối xứng với A qua gốc O nên O là trung điểm của AC. Do đó, A và C có hoành độ và tung độ đối nhau. Suy ra C(-3; -1).

Vì D đối xứng với A qua trục tung nên:

+ AD vuông góc với Oy, suy ra A và D có cùng tung độ.

+ A và D cách đều Oy, nên A và D có hoành độ đối nhau.

Suy ra D(-3; 1).

b) Gọi H là hình chiếu của D trên trục Ox. Khi đó, H(-3; 0) và DH vuông góc với OH.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác DOH vuông tại H ta có: $O{D^2} = D{H^2} + O{H^2} = {1^2} + {3^2} = 10$ nên $OD = \sqrt {10}$.

Tương tự ta có: $OA = OB = OC = \sqrt {10}$.

Vì $OA = OB = OC = OD = \sqrt {10}$ nên bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc đường tròn (O, $\sqrt {10}$).