Bài 6.23 trang 14 SBT toán 9 - Kết nối tri thức tập 2: Tìm m để phương trình x^2 + 4x + m = 0 có hai nghiệm x_1...

Tìm m để phương trình ${x^2} + 4x + m = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 10$.

+ Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm và viết định lí Viète để tính ${x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}$.

+ Biến đổi

$x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 2{x_1}{x_2} \\= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 10.$

+ Thay ${x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}$ đã tính theo định lí Viète vào biểu thức vừa biến đổi, ta được phương trình ẩn m, từ đó tìm m, đối chiếu với điều kiện của m và đưa ra kết luận.

Phương trình có nghiệm khi $\Delta ‘ = 4 - m \ge 0$, tức là $m \le 4$.

Theo định lí Viète ta có: ${x_1} + {x_2} = - 4;{x_1}.{x_2} = m$.

Do đó:

$x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \\= {\left( { - 4} \right)^2} - 2m \\= 16 - 2m = 10$

Suy ra, $2m = 6$, hay $m = 3$ (thỏa mãn).

Vậy với $m = 3$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài.