Câu hỏi/bài tập:
Bác Long có 48 mét lưới thép. Bác muốn dùng để rào xung quanh một mảnh đất trống (đủ rộng) thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.
a) Biết diện tích của mảnh vườn là \(108{m^2}\), hãy tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.
b) Hỏi diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long có thể rào được là bao nhiêu mét vuông?
Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x (m) và y(m). Điều kiện: \(0 < x < y\).
a) + Theo đề bài tính được x+y và xy.
+ Do đó, x và y là nghiệm của phương trình \({A^2} - \left( {x + y} \right)A + xy = 0\), với x+y và xy đã tính ở trên.
+ Giải phương trình ẩn A vừa thu được và rút ra kết luận.
b) + Gọi \(S\left( {{m^2}} \right)\) là diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật mà bác Long có thể rào được.
+ Ta có: \(x + y = 24\), \(xy = S\) nên x và y là hai nghiệm của phương trình: \({A^2} - 24A + S = 0\).
+ Phương trình vừa thu được có nghiệm khi \(\Delta ‘ \ge 0\).
+ Giải bất phương trình thu được và rút ra kết luận.
Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là x (m) và y(m). Điều kiện: \(0 < x < y\).
a) Vì diện tích của mảnh vườn là \(108{m^2}\) nên \(xy = 108\)
Vì bác Long dùng 48 mét lưới để rào xung quanh mảnh vườn nên tổng chiều dài và chiểu rộng là: \(2\left( {x + y} \right) = 48\) hay \(x + y = 24\).
Do đó, x và y là hai nghiệm của phương trình: \({A^2} - 24A + 108 = 0\)
Ta có: \(\Delta ‘ = {\left( { - 12} \right)^2} - 1.108 = 36 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({A_1} = \frac{{12 + \sqrt {36} }}{1} = 18\) (thỏa mãn), \({A_2} = \frac{{12 - \sqrt {36} }}{1} = 6\) (thỏa mãn). Do đó, \(x = 6m,y = 18m\).
Vậy chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn lần lượt là 6m và 18m.
b) Gọi \(S\left( {{m^2}} \right)\) là diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật mà bác Long có thể rào được.
Ta có: \(x + y = 24\), \(xy = S\).
Do đó, x và y là hai nghiệm của phương trình: \({A^2} - 24A + S = 0\) (*)
Phương trình (*) có nghiệm khi \(\Delta ‘ = {\left( { - 12} \right)^2} - 1.S = 144 - S \ge 0\), suy ra \(S \le 144\).
Khi \(S = 144\) thì phương trình (*) có nghiệm kép \({A_1} = {A_2} = 12\). Do đó, \(x = y = 12\).
Vậy diện tích lớn nhất của mảnh vườn mà bác Long có thể rào được là \(144{m^2}\) (khi đó mảnh vườn là hình vuông có cạnh 12m).