Advertisements (Quảng cáo)
Trên dây cung AB của một đường tròn O, lấy hai điểm C và D chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng nhau AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:
a) \(\overparen{AE}\) = \(\overparen{FB}\);
b) \(\overparen{AE}\) < \(\overparen{EF}\).
Giải
a) ∆OABcân tại O (vì OA = OB bán kính)
\( \Rightarrow \widehat A = \widehat B\)
Xét ∆OAC và ∆OBD:
OA = OB (bán kính)
\(\widehat A = \widehat B\) (chứng minh trên)
AC = BD (gt)
Suy ra: ∆OAC = ∆OBD (c.g.c)
\( \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (1)
sđ \(\overparen{AE}\) \( = \widehat {{O_1}}\) (2)
sđ \(\overparen{BF}\) \( = \widehat {{O_2}}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\overparen{AE}\) = \(\overparen{BF}\)
b) ∆OAC = ∆BOD (chứng minh trên)
\( \Rightarrow OC = OD\)
\( \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại O nên \(\widehat {ODC} < {90^0}\). Suy ra: \(\widehat {CDF} > {90^0}\)
Trong ∆CDF ta có: \(\widehat {CDF} > {90^0} \Rightarrow CF > CD\) nên AC < CF
Xét ∆OAC và ∆OCF:
OA = OF (bán kính)
OC cạnh chung
AC < CF
Suy ra: \(\widehat {{O_1}} < \widehat {{O_3}}\) (hai tam giác có 2 cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ 3 không bằng nhau, đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).
sđ \(\overparen{AE}\) = \(\widehat {{O_1}}\)
sđ \(\overparen{EF}\) \( = \widehat {{O_3}}\)
Suy ra: \(\overparen{AE}\) < \(\overparen{EF}\).