Câu 11 trang 101 SBT Toán 9 Tập 2:Chứng minh rằng cung AE = cung FB....

Trên dây cung AB của một đường tròn O, lấy hai điểm C và D chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng nhau AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:

a) $\overparen{AE}$ = $\overparen{FB}$;

b) $\overparen{AE}$ < $\overparen{EF}$.

Giải

a) ∆OABcân tại O (vì OA = OB bán kính)

$\Rightarrow \widehat A = \widehat B$

Xét  ∆OAC và ∆OBD:

OA = OB (bán kính)

$\widehat A = \widehat B$ (chứng minh trên)

AC = BD (gt)

Suy ra: ∆OAC = ∆OBD (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}$       (1)

sđ $\overparen{AE}$ $= \widehat {{O_1}}$                (2)

sđ $\overparen{BF}$ $= \widehat {{O_2}}$                 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\overparen{AE}$ = $\overparen{BF}$

b) ∆OAC = ∆BOD (chứng minh trên)

$\Rightarrow OC = OD$

$\Rightarrow \Delta OCD$ cân tại O nên $\widehat {ODC} < {90^0}$. Suy ra: $\widehat {CDF} > {90^0}$

Trong ∆CDF ta có: $\widehat {CDF} > {90^0} \Rightarrow CF > CD$ nên AC < CF

Xét ∆OAC và ∆OCF:

OA = OF (bán kính)

OC cạnh chung

AC < CF

Suy ra: $\widehat {{O_1}} < \widehat {{O_3}}$ (hai tam giác có 2 cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ 3 không bằng nhau, đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

sđ $\overparen{AE}$ = $\widehat {{O_1}}$

sđ $\overparen{EF}$ $= \widehat {{O_3}}$

Suy ra: $\overparen{AE}$ < $\overparen{EF}$.