Câu 33 trang 10 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa và...

Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích:

a) $\sqrt {{x^2} - 4}  + 2\sqrt {x - 2}$;

b) $3\sqrt {x + 3}  + \sqrt {{x^2} - 9}$.

Gợi ý làm bài

a) Ta có: $\sqrt {{x^2} - 4}  + 2\sqrt {x - 2}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

${x^2} - 4 \ge 0$ và $x - 2 \ge 0$

Ta có: ${x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x - 2) \ge 0$

Trường hợp 1: 

$\left\{ \matrix{ x + 2 \ge 0 \hfill \cr x - 2 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 2 \hfill \cr x \ge 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2$

Trường hợp 2: 

$\left\{ \matrix{ x + 2 \le 0 \hfill \cr x - 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr x \le 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 2$

$x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$

Vậy x ≥ 2 thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích:

$\eqalign{ & \sqrt {{x^2} - 4} + 2\sqrt {x - 2} \cr & = \sqrt {(x + 2)(x - 2)} + 2\sqrt {x - 2} \cr}$

$= \sqrt {x - 2} .\left( {\sqrt {x + 2}  + 2} \right)$

b) Ta có: $3\sqrt {x + 3}  + \sqrt {{x^2} - 9}$ có nghĩa khi và chỉ khi:

$x + 3 \ge 0$ và ${x^2} - 9 \ge 0$

Ta có: $x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$

${x^2} - 9 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x - 3) \ge 0$

Trường hợp 1: 

$\left\{ \matrix{ x + 3 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 3 \hfill \cr x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3$

Trường hợp 2: 

$\left\{ \matrix{ x + 3 \le 0 \hfill \cr x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le - 3 \hfill \cr x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le - 3$

Vậy với x ≥ 3 thì biểu thức có nghĩa.

Biến đổi về dạng tích: 

$\eqalign{ & 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} - 9} \cr & = 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {(x + 3)(x - 3)} \cr}$

$= \sqrt {x + 3} \left( {3 + \sqrt {x - 3} } \right)$