Advertisements (Quảng cáo)
Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa và biến đổi chúng về dạng tích:
a) \(\sqrt {{x^2} – 4} + 2\sqrt {x – 2} \);
b) \(3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} – 9} \).
Gợi ý làm bài
a) Ta có: \(\sqrt {{x^2} – 4} + 2\sqrt {x – 2} \) có nghĩa khi và chỉ khi:
\({x^2} – 4 \ge 0\) và \(x – 2 \ge 0\)
Ta có: \({x^2} – 4 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 2)(x – 2) \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{
x + 2 \ge 0 \hfill \cr
x – 2 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 2 \hfill \cr
x \ge 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{
x + 2 \le 0 \hfill \cr
x – 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \le 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le – 2\)
\(x – 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\)
Vậy x ≥ 2 thì biểu thức có nghĩa.
Biến đổi về dạng tích:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} – 4} + 2\sqrt {x – 2} \cr
& = \sqrt {(x + 2)(x – 2)} + 2\sqrt {x – 2} \cr}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= \sqrt {x – 2} .\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)\)
b) Ta có: \(3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} – 9} \) có nghĩa khi và chỉ khi:
\(x + 3 \ge 0\) và \({x^2} – 9 \ge 0\)
Ta có: \(x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)
\({x^2} – 9 \ge 0 \Leftrightarrow (x + 3)(x – 3) \ge 0\)
Trường hợp 1:
\(\left\{ \matrix{
x + 3 \ge 0 \hfill \cr
x – 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 3 \hfill \cr
x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{
x + 3 \le 0 \hfill \cr
x – 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le – 3 \hfill \cr
x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le – 3\)
Vậy với x ≥ 3 thì biểu thức có nghĩa.
Biến đổi về dạng tích:
\(\eqalign{
& 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {{x^2} – 9} \cr
& = 3\sqrt {x + 3} + \sqrt {(x + 3)(x – 3)} \cr} \)
\(= \sqrt {x + 3} \left( {3 + \sqrt {x – 3} } \right)\)