Câu 39 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1: Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường...

Cho hình thang vuông ABCD $\widehat A = \widehat D = 90^\circ )$, AB = 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm.

a)      Tính độ dài AD.

b)      Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC.

a) Kẻ BE ⊥ CD

Suy ra tứ giác ABED là hình hình chữ nhật

Ta có:     AD = BE

               AB = DE = 4 (cm)

Suy ra:    CE = CD – DE = 9 – 4 = 5 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BCE ta có:

$B{C^2} = B{E^2} + C{E^2}$

Suy ra:      $B{E^2} = B{C^2} - C{E^2} = {13^2} - {5^2} = 144$

                 BE = 12 (cm)

 Vậy:        AD = 12 (cm)

b) Gọi I là trung điểm của BC

Ta có: $IB = IC = {1 \over 2}BC = {1 \over 2}.13 = 6,5 (cm)$  (1)

Kẻ IH ⊥ AD. Khi đó HI là đường trung bình của hình thang ABCD.

Ta có: $HI = {{AB + CD} \over 2} = {{4 + 9} \over 2} = 6,5$ (cm)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IB = HI = R

Vậy đường tròn $\left( {I;{{BC} \over 2}} \right)$ tiếp xúc với đường thẳng AD.