Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:
a) CE = CF;
b) AC là tia phân giác của góc BAE;
c) \(C{H^2} = AE.BF\).
a) Ta có: OC ⊥d ( tính chất tiếp tuyến)
AE ⊥ d (gt)
BF ⊥ d (gt)
Suy ra: OC // AE // BF
Mà OA = OB (=R)
Suy ra: CE = CF (tính chất đường thẳng song cách đều)
b) Ta có: AE // OC
Suy ra: \(\widehat {OCA} = \widehat {EAC}\) ( hai góc sole trong) (1)
Ta có: OA = OC (=R)
Suy ra: ∆OAC cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OCA} = \widehat {OAC}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {EAC} = \widehat {OAC}\)
Vậy AC là tia phân giác của góc OAE hay AC là tia phân giác của góc BAE.
Advertisements (Quảng cáo)
c) Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \)
Tam giác ABC vuông tại C có CH ⊥ AB.
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
\(C{H^2} = HA.HB\) (3)
Xét hai tam giác ACH và ACE, ta có:
\(\widehat {AEC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
CH = CE (tính chất đường phân giác)
AC chung
Suy ra: ∆ACH = ∆ACE (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: AH = AE (4)
Xét hai tam giác BCH và BEF, ta có:
\(\widehat {BHC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \)
CH = CF (= CE)
BC chung
Suy ra: ∆BCH = ∆BCF (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
Suy ra: BH = BF (5)
Từ (3), (4) và (5) suy ra: \(C{H^2} = AE.BF\)