. Câu 42 trang 107 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2 - Bài 7: Tứ giác nội tiếp
Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba đường tròn đó là A, B, C. Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đường tròn (PAB) và (PAC) lần lượt tại M, N. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Giải
Gọi ba đường tròn tâm O1, O2, O3
(O1) cắt (O2) tại A; (O1) cắt (O3) tại B.
(O2) cắt(O3) tại C. Suy ra D là điểm nằm trên đường tròn (O3).
BD cắt (O1) tại M, DC cắt (O2) tại N.
Nối PA, PB, PC; MA, NA.
Ta có tứ giác APBM nội tiếp trong đường tròn (O1).
^MAP+^MBP=180∘ (tính chất tứ giác nội tiếp)
Advertisements (Quảng cáo)
^MBP+^PBD=180∘ (kề bù)
Suy ra: ^MAP=^PBD (1)
Ta có: Tứ giác APCN nội tiếp trong đường tròn (O2)
^NAP+^NCP=180∘ (tính chất tứ giác nội tiếp)
^NCP+^PCD=180∘ (kề bù)
Suy ra: ^NAP=^PCD (2)
Tứ giác BPCD nội tiếp trong đường tròn (O3)
⇒^PBD+^PCD=180∘ (tính chất tứ giác nội tiếp) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: ^MAP+^NAP=180∘
Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng.