Câu 48 trang 164 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp...

Cho đường  tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (M,N là các tiếp điểm).

a)      Chứng minh rằngOA ⊥ MN.

b)      Vẽ đường kính NOC. Chứng minh rằng MC // AO.

c)      Tính độ dài các cạnh của tam giác AMN biết OM = 3cm, OA = 5cm.

a) Ta có: AM = AN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tam giác AMN cân tại A

Mặt khác AO là đường phân giác của góc MAN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra AO là đường cao của tam giác AMN (tính chất tam giác cân)

Vậy OA ⊥ MN.

b) Tam giác MNC nội tiếp trong đường tròn (O)

có NC là đường kính nên $\widehat {CMN} = 90^\circ$

suy ra: MN ⊥ MC

Mà      OA ⊥ MN (chứng minh trên)

Suy ra:  OA // MC

c) Ta có: AN ⊥ NC (tính chất tiếp tuyến)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AON ta có:

$A{O^2} = A{N^2} + O{N^2}$

Suy ra:  $A{N^2} = A{O^2} - O{N^2} = {5^2} - {3^2} = 16$

             AN = 4 (cm)

Suy ra: AM = AN = 4 (cm)

Gọi H là giao điểm của AO và MN

Ta có: $MH = NH = {{MN} \over 2}$ (tính chất tam giác cân)

Tam giác AON vuông tại N có NH ⊥ AO. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

 $OA.NH = AN.ON  \Rightarrow NH = {{AN.ON} \over {AO}} = {{4.3} \over 5} = 2,4 (cm)$

MN = 2.NH = 2.2,4 = 4,8 (cm).