Giải các phương trình trùng phương:
a) \({x^4} – 8{x^2} – 9 = 0\)
b) \({y^4} – 1,16{y^2} + 0,16 = 0\)
c) \({z^4} – 7{z^2} – 144 = 0\)
d) \(36{t^4} – 13{t^2} + 1 = 0\)
e) \({1 \over 3}{x^4} – {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0\)
f) \(\sqrt 3 {x^4} – \left( {2 – \sqrt 3 } \right){x^2} – 2 = 0\)
a) \({x^4} – 8{x^2} – 9 = 0\) đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} – 8t – 9 = 0\) có dạng \(a – b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 1 – \left( { – 8} \right) + \left( { – 9} \right) = 0 \cr
& {t_1} = – 1;{t_2} = – {{ – 9} \over 1} = 9 \cr} \)
\({t_1} = – 1 < 0\) loại
\( \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\)
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: \({x_1} = 3;{x_2} = – 3\)
b) \({y^4} – 1,16{y^2} + 0,16 = 0\) đặt \({y^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} – 1,16t + 0,16 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 1 + \left( { – 1,16} \right) + 0,16 = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = 0,16 \cr
& \Rightarrow {y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1 \cr
& {y^2} = 0,16 \Rightarrow y = \pm 0,4 \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({y_1} = 1;{y_2} = – 1;{y_3} = 0,4;{y_4} = – 0,4\)
c) \({z^4} – 7{z^2} – 144 = 0\) đặt \({z^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \({t^2} – 7t – 144 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 7} \right)^2} – 4.1.\left( { – 144} \right) = 49 + 576 = 625 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \cr
& {t_1} = {{7 + 25} \over {2.1}} = 16 \cr
& {t_2} = {{7 – 25} \over {2.1}} = – 9 \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
\({t_2} = – 9 < 0\) loại
\( \Rightarrow {z^2} = 16 \Leftrightarrow z = \pm 4\)
Vậy phương trình có hai nghiệm: \({z_1} = 4;{z_2} = – 4\)
d) \(36{t^4} – 13{t^2} + 1 = 0\) đặt \({t^2} = u \Rightarrow u \ge 0\)
Ta có phương trình: \(36{u^2} – 13u + 1 = 0\)
\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { – 13} \right)^2} – 4.36.1 = 169 – 144 = 25 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr
& {u_1} = {{13 + 5} \over {2.36}} = {{18} \over {72}} = {1 \over 4} \cr
& {u_2} = {{13 – 5} \over {2.36}} = {8 \over {72}} = {1 \over 9} \cr
& {t^2} = {1 \over 4} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 2} \cr
& {t^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 3} \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = {1 \over 2};{x_2} = – {1 \over 2};{x_3} = {1 \over 3};{x_4} = – {1 \over 3}\)
e)
\(\eqalign{
& {1 \over 3}{x^4} – {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^4} – 3{x^2} + 1 = 0 \cr} \)
Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \(2{t^2} – 3t + 1 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& 2 + \left( { – 3} \right) + 1 = 0 \cr
& {t_1} = 1;{t_2} = {1 \over 2} \cr
& \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \cr
& {x^2} = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \pm {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)
Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = – 1;{x_3} = {{\sqrt 2 } \over 2};{x_4} = – {{\sqrt 2 } \over 2}\)
f) \(\sqrt 3 {x^4} – \left( {2 – \sqrt 3 } \right){x^2} – 2 = 0\) đặt \({x_2} = t \Rightarrow t \ge 0\)
Ta có phương trình: \(\sqrt 3 {t^2} – \left( {2 – \sqrt 3 } \right)t – 2 = 0\)
Phương trình có dạng: \(a – b + c = 0\)
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt 3 – \left[ { – \left( {2 – \sqrt 3 } \right)} \right] + \left( { – 2} \right) \cr
& = \sqrt 3 – \left( {\sqrt 3 – 2} \right) + \left( { – 2} \right) \cr
& = \sqrt 3 – \sqrt 3 + 2 – 2 = 0 \cr
& {t_1} = – 1;{t_2} = – {{ – 2} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)
\({t_1} = – 1 < 0\) loại
\({x^2} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow x = \pm \sqrt {{{2\sqrt 3 } \over 3}} = \pm {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\)
Phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3};{x_2} = – {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\)