Câu 43 trang 58 SBT môn Toán 9 tập 2: Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được...

Cho phương trình \({x^2} + px - 5 = 0\) có nghiệm là x₁, x₂. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) –x₁ và –x₂

b) \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\)

Phương trình: \({x^2} + px - 5 = 0\) có hai nghiệm x₁ và x₂. Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = - {p \over 1} = - p \cr
& {x_1}{x_2} = {{ - 5} \over 1} = - 5 \cr} \)    (1)

a) Hai số -x₁ và –x₂ là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left[ {x - \left( { - {x_1}} \right)} \right]\left[ {x - \left( { - {x_2}} \right)} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - \left( { - {x_2}x} \right) - \left( { - {x_1}x} \right) + \left( { - {x_1}} \right)\left( { - {x_2}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + {x_1}{x_2} = 0(2) \cr} \)

Từ (1) và (2) phương trình phải tìm: \({x^2} - px - 5 = 0\)

b) Hai số \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\) là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left( {x - {1 \over {{x_1}}}} \right)\left( {x - {1 \over {{x_2}}}} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - {1 \over {{x_2}}}x - {1 \over {{x_1}}}x + {1 \over {{x_1}}}.{1 \over {{x_2}}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - \left( {{1 \over {{x_1}}} + {1 \over {{x_2}}}} \right)x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - {{{x_1} + {x_2}} \over {{x_1}{x_2}}}x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0(3) \cr} \)

Từ (1) và (3) suy ra phương trình phải tìm:

\(\eqalign{
& {x^2} - {{ - p} \over { - 5}}x + {1 \over { - 5}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - {p \over 5}x - {1 \over 5} = 0 \cr
& \Leftrightarrow 5{x^2} - px - 1 = 0 \cr} \)