Câu 43 trang 58 SBT môn Toán 9 tập 2: Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được...

Cho phương trình ${x^2} + px - 5 = 0$ có nghiệm là x₁, x₂. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) –x₁ và –x₂

b) ${1 \over {{x_1}}}$ và ${1 \over {{x_2}}}$

Phương trình: ${x^2} + px - 5 = 0$ có hai nghiệm x₁ và x₂. Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = - {p \over 1} = - p \cr & {x_1}{x_2} = {{ - 5} \over 1} = - 5 \cr}$    (1)

a) Hai số -x₁ và –x₂ là nghiệm của phương trình:

$\eqalign{ & \left[ {x - \left( { - {x_1}} \right)} \right]\left[ {x - \left( { - {x_2}} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - \left( { - {x_2}x} \right) - \left( { - {x_1}x} \right) + \left( { - {x_1}} \right)\left( { - {x_2}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + {x_1}{x_2} = 0(2) \cr}$

Từ (1) và (2) phương trình phải tìm: ${x^2} - px - 5 = 0$

b) Hai số ${1 \over {{x_1}}}$ và ${1 \over {{x_2}}}$ là nghiệm của phương trình:

$\eqalign{ & \left( {x - {1 \over {{x_1}}}} \right)\left( {x - {1 \over {{x_2}}}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {1 \over {{x_2}}}x - {1 \over {{x_1}}}x + {1 \over {{x_1}}}.{1 \over {{x_2}}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - \left( {{1 \over {{x_1}}} + {1 \over {{x_2}}}} \right)x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {{{x_1} + {x_2}} \over {{x_1}{x_2}}}x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0(3) \cr}$

Từ (1) và (3) suy ra phương trình phải tìm:

$\eqalign{ & {x^2} - {{ - p} \over { - 5}}x + {1 \over { - 5}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {p \over 5}x - {1 \over 5} = 0 \cr & \Leftrightarrow 5{x^2} - px - 1 = 0 \cr}$