Câu 55 trang 165 bài tập SBT Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A đến đường...

Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A đến đường tròn vuông góc với nhau tại A (B và C là các tiếp điểm).

a)      Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?

b)      Gọi M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC. Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Tính chu vi tam giác ADE.

c)      Tính số đo góc DOE.

a) Ta có: $AB ⊥ AC  \Rightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ$

            $AB ⊥ BO \Rightarrow \widehat {ABO} = 90^\circ$

            $AC ⊥ CO \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ$

Tứ giác ABOC có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Mặt khác: AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra tứ giác ABOC là hình vuông.

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

                       DB = DM

                        EM = EC

Chu vi của tam giác ADE bằng:

AD + DE + EA = AD + DM + ME + EA

                        = AD + DB + AE + EC

                        = AB + AC = 2AB

Mà tứ giác ABOC là hình vuông (chứng minh trên) nên:

AB  = OB = 2 (cm)

Vậy chu vi của tam giác ADE bằng: 2.2 = 4 (cm)

c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

                          OD là tia phân giác của góc BOM

Suy ra: $\widehat {BOD} = \widehat {DOM} = {1 \over 2}\widehat {DOM}$

             OE là tia phân giác của góc COM

Suy ra: $\widehat {COE} = \widehat {EOM} = {1 \over 2}\widehat {COM}$

Suy ra:

$\widehat {DOE} = \widehat {DOM} + \widehat {EOM}$

$= {1 \over 2}(\widehat {BOM} + \widehat {COM})$

$= {1 \over 2}\widehat {COB} = {1 \over 2}90^\circ  = 45^\circ$.