Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A ; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng:
a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng;
b) DE tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC.
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AB là tia phân giác của góc HAD
Suy ra: \(\widehat {DAB} = \widehat {BAH}\)
AC là tia phân giác của góc HAE
Suy ra: \(\widehat {HAC} = \widehat {CAE}\)
Ta có: \(\widehat {HAD} + \widehat {HAE} = 2(\widehat {BAH} + \widehat {HAC}) = 2.\widehat {BAC} = 2.90^\circ = 180^\circ \)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b) Gọi M là trung điểm của BC
Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\(AD \bot BD;AE \bot CE\)
Suy ra: BD // CE
Vậy tứ giác BDEC là hình thang
Khi đó MA là đường trung bình của hình thang BDEC
Suy ra: \(MA // BD \Rightarrow MA \bot DE\)
Trong tam giác vuông ABC ta có: MA = MB = MC
Suy ra M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.