Câu 60 trang 166 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho tam giác ABC, đường tròn (K) bằng tiếp góc trong góc A tiếp xúc...

Cho tam giác ABC, đường tròn (K) bằng tiếp góc trong góc A tiếp xúc với các tia AB và AC theo thứ tự tại E và F. Cho BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng:

a)      $AE  = AF = {{a + b + c} \over 2}$

b)      $BE  = {{a + b - c} \over 2};$

c)       $CF = {{a + c - b} \over 2}$

a) Gọi D là tiếp điểm của đường tròn (K) với cạnh BC.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

                BE = BD; CD = CF

                AE = AB + BE

                AF = AC + CF

Suy ra:    AE + AF = AB + BE + AC + CF

                              = AB + AC + (BD + DC)

                              = AB + AC + BC = c + b + a

Mà AE = AF (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: ${\rm{AE = AF = }}{{a + b + c} \over 2}$

b) Ta có: $BE = AE – AB = {{a + b + c} \over 2} - c = {{a + b - c} \over 2}$

c) Ta có: $CF = AF – AC = {{a + b + c} \over 2} - b = {{a + c - b} \over 2}.$